Hướng dẫn công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và bài tập mẫu có lời giải

Thầy giáo toán với 30 năm kinh nghiệm giảng dạy hướng dẫn chi tiết công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng qua các trường hợp cơ bản trong không gian và mặt phẳng. Phương pháp tính toán đơn giản kèm bài tập mẫu giúp học sinh dễ dàng nắm vững kiến thức hình học quan trọng này.

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng là gì?

Khoảng cách giữa hai đường thẳng được xác định bằng độ dài đường vuông góc ngắn nhất nối hai đường thẳng đó. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng phụ thuộc vào vị trí tương đối của chúng trong không gian.

Bạn đang xem: Hướng dẫn công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và bài tập mẫu có lời giải

Với hai đường thẳng song song d1: ax + by + c1 = 0 và d2: ax + by + c2 = 0, khoảng cách được tính theo công thức:

d = |c1 – c2|/√(a² + b²)

Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, ta sử dụng công thức:

d = |n1 × n2|/|n1 × v|

Trong đó:
– n1, n2 là vector pháp tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng
– v là vector chỉ phương của đường thẳng giao của hai mặt phẳng đó

Ví dụ: Cho hai đường thẳng song song d1: 3x + 4y – 5 = 0 và d2: 3x + 4y + 7 = 0. Khoảng cách giữa chúng là:
d = |(-5) – 7|/√(3² + 4²) = 12/5 = 2,4 (đơn vị)

Với các đường thẳng cắt nhau, khoảng cách giữa chúng bằng 0 vì chúng có điểm chung. Còn với đường thẳng chéo nhau, việc tính toán phức tạp hơn và cần xác định rõ tọa độ vector chỉ phương của mỗi đường thẳng.

Các trường hợp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian phụ thuộc vào vị trí tương đối của chúng. Để tính chính xác khoảng cách, cần xác định rõ đường thẳng song song, chéo nhau hay cắt nhau. Mỗi trường hợp sẽ có cách tính riêng dựa trên công thức khoảng cách và tính độ dài đoạn thẳng trong tọa độ.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song được xác định bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Khoảng cách sẽ không đổi tại mọi điểm trên hai đường thẳng. Công thức tính dựa vào vector pháp tuyến và vector chỉ phương của đường thẳng.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối hai đường thẳng và vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Đoạn thẳng này song song với vector pháp tuyến chung của hai vector chỉ phương của hai đường thẳng ban đầu.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng cắt nhau

Xem thêm : Khám phá công thức tính diện tích xung quanh hình trụ và bài tập ứng dụng

Khi hai đường thẳng cắt nhau, khoảng cách giữa chúng bằng 0 tại điểm giao. Điểm giao là điểm chung duy nhất của hai đường thẳng và có thể tìm được bằng cách giải hệ phương trình tham số của hai đường thẳng.

Bài tập mẫu về khoảng cách hai đường thẳng cắt nhau

Cho hai đường thẳng d1: (x-1)/2 = (y+1)/3 = z/4 và d2: x/1 = y/2 = (z-2)/3
Giải:
– Lập hệ phương trình tham số:
x = 2t + 1; y = 3t – 1; z = 4t (d1)
x = s; y = 2s; z = 3s + 2 (d2)
– Tại điểm giao: 2t + 1 = s; 3t – 1 = 2s; 4t = 3s + 2
– Giải ra: t = 1, s = 3
– Tọa độ điểm giao: (3, 2, 4)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng 0.

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng vector

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng vector là một phương pháp hiệu quả trong hình học không gian. Khoảng cách này chính là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối hai đường thẳng cho trước, luôn vuông góc với cả hai đường thẳng đó.

Công thức tính khoảng cách bằng vector chỉ phương

Công thức tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng d₁(A₁, a⃗) và d₂(A₂, b⃗) được xác định bằng công thức:

d = |[(A₂ – A₁), a⃗, b⃗]| / |a⃗ × b⃗|

Trong đó:
– A₁, A₂ là hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng
– a⃗, b⃗ là các vector chỉ phương của hai đường thẳng
– [(A₂ – A₁), a⃗, b⃗] là định thức của ma trận tạo bởi ba vector
– |a⃗ × b⃗| là độ dài của tích có hướng hai vector

Để tính toán chính xác, ta cần nắm vững công thức tính độ dài vector và các phép toán vector cơ bản.

Ví dụ minh họa cách tính bằng vector

Xét hai đường thẳng:
d₁: đi qua điểm A₁(1,0,0) và có vector chỉ phương a⃗(1,1,0)
d₂: đi qua điểm A₂(0,1,1) và có vector chỉ phương b⃗(0,1,1)

Bài tập có lời giải chi tiết:

Giải:
Bước 1: Tính vector A₂ – A₁ = (0,1,1) – (1,0,0) = (-1,1,1)

Bước 2: Tính định thức [(A₂ – A₁), a⃗, b⃗]:
|(-1,1,1), (1,1,0), (0,1,1)| = 2

Bước 3: Tính tích có hướng a⃗ × b⃗:
a⃗ × b⃗ = (1,-1,1)
|a⃗ × b⃗| = √3

Bước 4: Áp dụng công thức:
d = |2| / √3 ≈ 1.15 (đơn vị độ dài)

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng là 1.15 đơn vị độ dài.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng được xác định bằng độ dài đường vuông góc chung ngắn nhất nối hai đường thẳng đó. Việc tính khoảng cách phụ thuộc vào vị trí tương đối của hai đường thẳng – song song hoặc vuông góc với nhau.

Trường hợp hai đường thẳng song song

Với hai đường thẳng song song d1: ax + by + c1 = 0 và d2: ax + by + c2 = 0, khoảng cách giữa chúng được tính theo công thức:

Xem thêm : Hướng dẫn chi tiết công thức tính mét khối m3 và cách quy đổi đơn vị thể tích

d = |c1 – c2|/√(a² + b²)

Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: 2x + 3y + 1 = 0 và d2: 2x + 3y – 5 = 0. Ta có a = 2, b = 3, c1 = 1, c2 = -5. Áp dụng công thức: d = |1 – (-5)|/√(2² + 3²) = 6/√13 ≈ 1.66 đơn vị.

Trường hợp hai đường thẳng vuông góc

Khoảng cách giữa hai đường thẳng vuông góc được xác định bằng tọa độ giao điểm của chúng. Nếu d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 là hai đường thẳng vuông góc, ta có thể tính tọa độ giao điểm tương tự như cách tính đường chéo hình chữ nhật.

Bài tập áp dụng có hướng dẫn giải

Bài toán: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 3x – 4y + 12 = 0 và d2: 3x – 4y – 6 = 0

Giải:

• Nhận xét: Hai đường thẳng có hệ số góc giống nhau (3 và -4) nên song song

• Áp dụng công thức d = |c1 – c2|/√(a² + b²)

• Thay số: d = |12 – (-6)|/√(3² + (-4)²) = 18/5 = 3.6 đơn vị

FAQ: Câu hỏi thường gặp về khoảng cách giữa hai đường thẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Việc nắm vững cách xác định và tính toán khoảng cách này sẽ giúp giải quyết nhiều bài toán thực tế. Tương tự như khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kỳ cũng có những quy tắc và phương pháp riêng.

Làm sao để xác định hai đường thẳng có cắt nhau không?

Để xác định hai đường thẳng có cắt nhau, ta cần kiểm tra vector chỉ phương của chúng. Nếu hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau, chúng sẽ không có điểm chung. Ngược lại, nếu hai đường thẳng cắt nhau, chúng sẽ có một điểm chung duy nhất và cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng lúc này sẽ bằng 0.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kỳ được tính như thế nào?

Khoảng cách giữa hai đường thẳng được xác định là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối hai đường thẳng đó và vuông góc với cả hai. Công thức tổng quát để tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng a và b là: d = |[(A-B).(a×b)]|/|a×b|, trong đó A và B là hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng, a và b là vector chỉ phương của hai đường thẳng.

Có những phương pháp nào để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng?

Phương pháp vector là cách phổ biến nhất để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đơn giản. Ngoài ra, có thể sử dụng phương pháp hình chiếu hoặc phương pháp tọa độ. Mỗi phương pháp có ưu điểm riêng tùy thuộc vào dạng bài toán cụ thể. Với các đường thẳng song song, khoảng cách được tính bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Việc áp dụng **công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng** đòi hỏi sự phân tích kỹ lưỡng về vị trí tương đối của chúng trong không gian. Các phương pháp tính toán đa dạng như sử dụng vector chỉ phương hoặc tọa độ trong mặt phẳng Oxy giúp giải quyết bài toán một cách chính xác. Kiến thức này có vai trò quan trọng trong hình học không gian và ứng dụng thực tiễn khi tính toán khoảng cách giữa các vật thể.

Nguồn: https://congthuctoan.com
Danh mục: Hình học không gian